Ici Radio-Canada
Par Vincent Finnerty.
Attention: cette page web n'a aucune valeur scientifique, théorique ou idéologique. Tous les outils mathématiques décrits existent réellement mais sont utilisés ici à des fins totalement inutiles. Le seul but de cette page est de décrire une « anecdote mathématique » provenant de ma formation en traitement d'images. Même si vous trouvez les explications trop simples (à cause de la vulgarisation) ou trop compliquées (à cause des connaissances mathématiques nécessaires pour une compréhension profonde), lisez tout de même ces quelques lignes pour votre plaisir personnel.
Le traitement d'images est une branche du traitement de signal qui s'intéresse aux signaux visuels. Une image est en fait un signal à deux dimensions où, pour chaque position dans l'image, correspond une intensité lumineuse. Voici un exemple simple: l'image qui suit est un petit carré blanc (6x6 pixels) dans un fond noir (256x256 pixels).
On peut représenter cette image telle quelle (ci-haut), ou selon une fonction qui représente la valeur de la luminosité de chacun des pixels de l'image. Dans l'image de cet exemple, la fonction ne prend que deux valeurs: 0 (pixel noir) ou 1 (pixel blanc).
Il est possible d'utiliser différents outils mathématiques afin d'analyser l'information contenue dans une image. Il est souvent pertinent d'analyser le contenu fréquentiel d'une image. L'outil le plus utilisé pour se faire se nomme la transformée de Fourier bidimensionnelle (2D).
Une transformée de Fourier 2D est constituée de deux transformées de Fourier appliquées en cascade dans les deux directions principales: horizontale et verticale. L'image, dans le domaine fréquentiel, est réprésentée par des pixels ayant les coordonnées (u,v) (par rapport à (x,y) dans le domaine de l'espace) et indique la quantité d'énergie de la transformée de Fourier à cette intersection.
C'est un concept ardu à comprendre mais il est mathématiquement simple de l'obtenir. La transformée de Fourier bidimensionnelle de l'image présentée plus haut est le produit de deux sinus cardinaux, l'un vertical et l'autre horizontal. Le module de cette fonction est représenté par l'image suivante:
Tout comme l'image du carré peut être représentée comme une fonction, la fonction précédente peut être représentée sous la forme d'une image. Notre oeil, pour ce qui est de la perception des teintes de gris, ne perçoit au mieux que 200 tons. Il faut donc, pour bien visualiser une fonction, ajuster les échelles de représentation afin d'avoir le minimum de la fonction en noir, que nous faisons arbitrairement correspondre à 0, et le maximum en blanc, ce qui correspond à 255:
Afin de pouvoir bien observer les variations à petite échelle sans perdre l'information à grande échelle, il est fréquent d'utiliser une transformation logarithmique. Une telle transformation a été appliquée au contenu fréquentiel de l'image du carré blanc sur fond noir. On obtient alors la fonction représentée par la figure suivante:
On voit beaucoup mieux chacun des lobes et la transformation (n'ayant pour but que d'améliorer la visualisation) est complètement réversible, c'est-à-dire qu'il est possible de retrouver l'image originale à l'aide d'une autre transformation, dite transformation inverse. La représentation la plus intéressante, qui à elle seule justifie l'existence de cette page web, est la fonction précédente sous forme d'image:
On voit très bien où se trouve l'énergie (les différentes taches blanches) et où il n'y en a pas du tout (les lignes noires horizontales et verticales). Mais l'intérêt de cette image n'est pas du tout au niveau des développements mathématiques ou de l'interprétation fréquentielle. En fait, le seul intérêt est une ressemblance frappante avec le logo de la Société Radio-Canada:
Bien que la direction de Radio-Canada nie la relation entre la transformée de Fourier bidimensionnelle d'un carré blanc et leur logo officiel (probablement pour éviter de payer des redevances à la descendance de Jean-Baptiste Joseph Fourier), la ressemblance est évidente et indiscutable.